MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones. Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son: Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación. Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo , donde es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, ), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia , la hipérbola ), etc.

Ecuaciones de la recta en el plano Artículo principal: Función lineal. Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante. La ecuación general de la recta es de la forma: cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B. Una recta en el plano se representa con la Función lineal de la forma: Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos: Rectas oblicuas. Rectas horizontales. Rectas verticales. Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto . La ecuación de dichas rectas es: Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto . La ecuación de dichas rectas es: Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas y otro punto de corte con el eje de ordenadas . El valor recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el se denomina ordenada en el origen. [editar]Secciones cónicas Artículo principal: Sección cónica. Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (A), elipse (B) e hipérbola (C). Las tres secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola. La circunferencia es un caso particular de elipse. El resultado de la intersección de la superficie de un cono, con un plano, da lugar a lo que se denominan secciones cónicas, que son: la parábola, la elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hipérbola. La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Una parábola (figura A) cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abcisas se expresa mediante la ecuación: La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices. Una elipse (figura B) centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b viene dada por la expresión: Si los dos ejes son iguales y los llamamos c: el resultado es una circunferencia: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices. La hipérbola (Figura C) tiene por expresión: